ANNONS

Lösningsförslag provpass 4, uppgift 6. (XYZ 18)

rankrankrankrank

Inlägg totalt 217

Medlem sedan 2012-06-11

För vilka y gäller olikheten y > 1/y > -1/y?

A: y < -1
B: -1 < y < 0
C: 0 < y < 1
D: y > 1


Man kan testa varje svarsalternativ för att se om de uppfyller villkoren.

A: y < -1
Vi väljer ett värde på y som är mindre än -1, till exempel -2. Vi ersätter y med -2 i uttrycket y > 1/y > -1/y och ser om olikheterna stämmer.
-2 > 1/-2 > -1/-2 =>  ...vi förenklar storheterna =>
-2 > -1/2 > 1/2 ...vi kan se att inga av olikheterna stämmer

B: -1 < y < 0
Vi väljer ett värde på y som är större än -1 men som är mindre än 0, till exempel -1/2. Vi ersätter y med -1/2 i uttrycket y > 1/y > -1/y och ser om olikheten stämmer.
-1/2 > 1/(-1/2) > -1/(-1/2) =>  ...vi förenklar storheterna =>
-1/2 > -2 > 2 ...vi kan se att den andra av olikheterna inte stämmer

C: 0 < y < 1
Vi väljer ett värde på y som är större än 0 men som är mindre än 1, till exempel 1/2. Vi ersätter y med 1/2 i uttrycket y > 1/y > -1/y och ser om olikheten stämmer.
1/2 > 1/(1/2) > -1/(1/2) =>  ...vi förenklar storheterna =>
1/2 > 2 > -2 ...vi kan se att det första olikheterna inte stämmer

D: y > 1
Vi väljer ett värde på y som är större än 1, till exempel 2. Vi ersätter y med 2 i uttrycket y > 1/y > -1/y och ser om olikheterna stämmer.
2 > 1/2 > -1/2 =>  ...vi ser att alla olikheterna stämmer


...man kan också välja att räkna ut vilka värden på y som uppfyller olikheterna i uttrycket och sen jämföra sin uppställning av giltiga y med svarsalternativen…


Vi börjar med det mest uppenbara i den här uppgiften.
y ≠ 0
Om y var lika med 0 så skulle de olika storheterna få samma värde.

Man kan också se att y måste vara ett positivt tal. Det eftersom den sista storheten -1/y (som skall ha det minsta värdet enligt den andra olikheten) blir till motsats till de två första storheterna större än noll vid ett negativt y. Nu vet vi att y > 0.

Nu kan vi undersöka vilka möjliga y större än 0 som finns för den första olikheten.
y > 1/y när y > 0.

Vi börjar med att räkna ut gränsvärdet för y, det vill säga ett värde som y kan sträcka sig till (och som den i våran olikhet aldrig kan uppnå). Gränsvärdet för y i olikheten får vi fram genom att ersätta olikhetstecknet med ett likhetstecken i uttrycket.
y = 1/y ...multiplicerar båda sidorna med y... =>
y² = 1 ...vi får två möjliga värden på y... =>
y = -1 och y = 1 ...men eftersom vi vet att y > 0, så återstår bara…
y = 1

Nu kan vi undersöka om y måste vara större eller mindre än 1 för att uppfylla y > 1/y. Vi väljer att undersöka ett värde på y som är större än 1, till exempel 2. Vi ersätter y med 2 i uttrycket y > 1/y och ser om olikheten stämmer.

2 > 1/2 ...vi ser att olikheten stämmer

Därmed vet vi att y måste vara större än 1 för att uppfylla villkoren i uttrycket y > 1/y > -1/y.


Rätt svarsalternativ är D.